Question

設函數f(x)=x²-2tx+4t³+t²-3t+3,其中x∈R,t∈R,將f(x)的最小值記為g(t).

(1)求g(t)的表達式;

(2)討論g(t)在區間［-1,1］內的單調性;

(3)若當t∈［-1,1］時,|g(t)|≤k恒成立,其中k為正數,求k的取值范圍.

Answer 1

解:(1)f(x)=(x-t)²+4t³-3t+3,當x=t時,f(x)達到其最小值g(t),即g(t)=4t³-3t+3.

(2)∵g′(t)=12t²-3=3(2t+1)(2t-1),

列表如下:

t	(-1,)		(,)		(,1)
g′(t)	+	0	-	0	+
g(t)	↗	極大值g()	↘	極小值g()	↗

由此可見,g(t)在區間(-1,)和(,1)單調遞增,在區間(,)單調遞減.

(3)∵g(1)=g()=4,g(-1)=g()=2,∴g(t)_max=4,g(t)_min=2;

又∵|g(t)|≤k,即-k≤g(t)≤k恒成立,∴

綜合可得k的范圍為k≥4.