Question

（2012•宿州一模）函數f（x）的定義域為A，若x₁，x₂∈A且當f（x₁）=f（x₂）時，總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數．例如，函數f（x）=2x+1（x∈R）是單函數．下列命題：
①函數f（x）=x²（x∈R）是單函數；
②若f（x）為單函數，x₁，x₂∈A且x₁≠x₂，則f（x₁）≠f（x₂）；
③若f：A→B為單函數，則對于任意b∈B，它至多有一個原象；
④函數f（x）在A上具有單調性，則f（x）一定是單函數．
其中為真命題的是

②③④

．（寫出所有真命題的序號）

Answer 1

分析：根據單函數的定義f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，可知函數f（x）則對于任意b∈B，它至多有一個原象，而①f（-1）=f（1），顯然-1≠1，可知它不是單函數，②③④都是，可得結果．

解答：解：∵若x₁，x₂∈A，且f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，則稱f（x）為單函數
①函數f（x）=x²不是單函數，∵f（-1）=f（1），顯然-1≠1，
∴函數f（x）=x²（x∈R）不是單函數；
②∵f（x）為單函數，且x₁≠x₂，
若f（x₁）=f（x₂），則x₁=x₂，與x₁≠x₂矛盾
∴②正確；
③若f：A→B為單函數，則任意的a∈A，則f（a）∈B，當f（a）=b時，b在A中有唯一的原像，當f（a）≠b時，b在集合A中沒有原像，則對于任意b∈B，它至多有一個，③正確
④∵函數f（x）是單調函數，
∴f（x₁）=f（x₂）時總有x₁=x₂，即④正確；
故答案為：②③④．

點評：此題以新定義為載體，主要考查了利用新知識分析解決問題的能力，以及知識方法的遷移能力．