Question

【題目】數列：，，，…，，…，對于給定的（，），記滿足不等式：（，）的構成的集合為．

（Ⅰ）若數列，寫出集合；

（Ⅱ）如果（，）均為相同的單元素集合，求證：數列，，…，，…為等差數列；

（Ⅲ）如果（，）為單元素集合，那么數列，，…，，…還是等差數列嗎？如果是等差數列，請給出證明；如果不是等差數列，請給出反例．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析；（Ⅲ）是等差數列，證明見解析．

【解析】

（Ⅰ）由題意得，，分和兩類討論解出不等式，再根據的定義即可求出；

（Ⅱ）由題意，若中均只有同一個元素，不妨設為，當時，由題意可得，當時，有，則成立，從而得出證明；

（Ⅲ）不妨設，，，，由題意可得，，則，則；設，則，則，首先證時的情況，不妨設，由，為單元素集，則；再證，由和的定義可證，則，則存在正整數使得，而，得出矛盾，從而，同理可證，由此可得結論．

（Ⅰ）解：由題意得，為滿足不等式的構成的集合，

∵數列，

∴，即，

當時，上式可化為，

當時，上式可化為，得，

∴；

（Ⅱ）證：對于數列：，，，…，，…，

若中均只有同一個元素，不妨設為，

下面證明數列為等差數列，

當時，有，①

當時，有，②

∵①②兩式對任意大于1的整數均成立，

∴成立，

∴數列，，…，，…為等差數列；

（Ⅲ）解：對于數列：，，…，，…，

不妨設，，，，

由，知，

由，知：，即，

∴，∴；

設，則，

這說明，則，

∵對于數列，中均只有一個元素，

首先證時的情況，不妨設，

∵，又為單元素集，∴，

再證，證明如下：

由的定義可知：，，∴，

由的定義可知，

∴，∴，

∵，∴，

則存在正整數，使得，③

∵，

∴，這與③矛盾，

∴，

同理可證，即，

∴數列，，…，，…還是等差數列．