Question

設a＞1，b＞0，若a+b=2，則

1

a-1

+

2

b

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式

專題：導數的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：由a+b=2，a＞1，可得b=2-a＞0，1＜a＜2．令

1

a-1

+

2

b

=

1

a-1

+

2

2-a

=f（a），利用導數研究其單調性極值與最值即可得出．

解答： 解：∵a+b=2，∴b=2-a＞0，解得a＜2，又a＞1，1＜a＜2．
∴

1

a-1

+

2

b

=

1

a-1

+

2

2-a

=f（a），
f′（a）=-

1

(a-1)2

+

2

(2-a)2

=

a2-2

(a2-3a+2)2

，
令f′（a）=0，及1＜a＜2．解得a=

2

．
當a∈(1，

2

)時，f′（a）＜0，函數f（a）單調遞減；當a∈(

2

，2)時，函數f′（a）＞0，函數f（a）單調遞增．
∴當a=

2

時，f（a）取得極小值即最小值，f(

2

)=3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查了不等式的性質、利用導數研究函數的單調性極值與最值，考查了推理能力和計算能力，屬于中檔題．