Question

【題目】為固定的整數，定義任意整數坐標點關于的余數是關于的余數.找出所有正整數數組，使得以、、、為頂點的長方形具有如下性質：

ⅰ.長方形內整數點以為余數出現的次數相同；

ⅱ.長方形邊界上整數點以為余數出現的次數相同.

Answer 1

【答案】滿足條件的為：當時，中至少有一個為奇數；當時，

或

【解析】

長方形邊界上共有個整點，則有.

長方形內共有個整點，則有.

當時，為使其中被2除余0，1的點的個數相同，則必有.

從而，中至少有一個為奇數.

另一方面，當中至少有一個為奇數時，不妨設為奇數，則對一切在個點中被2除余0，1的點的個數相同.從而，長方形內的整點中被2除余0，1的個數相同.

又及中被2除余0，1的點的個數相同，且對一切，點與被2除余數一個為0，一個為1.從而，長方形邊界上的點中被2除余0，1的個數也相同.

故此時滿足要求，其中中至少有一個奇數.

當時，邊界上共有個整點：

與

.

它們的坐標和分別為與.

設則邊界上的點中被除余的有偶數個，

且若，則邊界上的點中被除余0的有奇數個， 這不可能，故必有.

且當時， 邊界上的點中被除余的個數必相同.

又長方形內部共有個點，故必有.

若，則設分別是除以的余數，

則，且若，則又由知，從而，

.

這不可能，故.同理知.

于是，長方形內部整點被除余的個數相同等價于

中被除余的個數相同.

又，故必有.于是，

中沒有被除余0的點，矛盾.

從而之一必被除余1，而另一個被除余.此時，由于或，可知內部整點被除余的個數相同.

綜上所述，滿足條件的為：當時，中至少有一個為奇數；當時，

或.