Question

已知方程x²＋y²－2x－4y＋m＝0，

(1)若此方程表示圓，求m的取值范圍．

(2)若(1)中的圓與直線x＋2y－4＝0相交于M，N兩點，且OM⊥ON，(O為坐標原點)，求m．

(3)在(2)的條件下，求以MN為直徑的圓的方程．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)(x－1)2＋(y－2)2＝5－m，∴m＜5． 　　(2)設M(x1，y1)，N(x2，y2)， 　　x1＝4－2y1，x2＝4－2y2． 　　得x1x2＝16－8(y1＋y2)＋4 y1y2． 　　∵OM⊥ON，∴x1x2＋y1y2＝0． 　　∴16－8(y1＋y2)＋5y1y2＝0．…(*) 　　由5y2－16y＋m＋8＝0，得： 　　y1＋y2＝，y1y2＝代入(*)式得：m＝． 　　(3)以MN為直徑的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0， 　　即x2＋y2－(x1＋x2)x－(y1＋y2)y＝0． 　　故所求圓的方程為：x2＋y2－x－y＝0