Question

如圖，正方形ABCD的邊長為1，延長BA至E，使AE=1，連接EC、ED，則cos2∠CED=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：正弦定理,二倍角的余弦

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由正方形邊長與AE相等，得到三角形AED為等腰直角三角形，確定出∠EDC=135°，再直角三角形BCE中，利用勾股定理求出CE的長，在三角形CDE中，利用正弦定理求出sin∠CED的值，所求式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，把sin∠CED的值代入計算即可求出值．

解答： 解：∵四邊形ABCD為正方形，且邊長為1，
∴∠B=∠ADC=90°，AB=BC=CD=AD=AE=1，
∴△AED為等腰直角三角形，
∴∠AED=∠ADE=45°，
∴∠EDC=135°，
在Rt△BCE中，根據(jù)勾股定理得：EC=

EB2+BC2

=

22+12

=

5

，
在△DEC中，利用正弦定理得：

EC

sin∠EDC

=

DC

sin∠CED

，即

5

sin135°

=

1

sin∠CED

，
∴sin∠CED=

10

10

，
則cos2∠CED=1-2sin²∠CED=

4

5

．
故答案為：

4

5

．

點(diǎn)評：本題考查了二倍角的余弦函數(shù)公式，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，以及正弦定理，熟練掌握公式是解本題的關(guān)鍵．