Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)橢圓，其中，過橢圓內(nèi)一點(diǎn)的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)和，且滿足，，其中為正常數(shù). 當(dāng)點(diǎn)恰為橢圓的右頂點(diǎn)時，對應(yīng)的.
（1）求橢圓的離心率；
（2）求與的值；
（3）當(dāng)變化時，是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由.

Answer 1

（1）；（2）；（3）

試題分析：（1）求橢圓的離心率，即尋找關(guān)于a,c的等式，而題中已知了，在橢圓中有代入已知等式，可獲得關(guān)于a,c的等式，從而可求得離心率的值；（2）因?yàn)楫?dāng)點(diǎn)恰為橢圓的右頂點(diǎn)時，對應(yīng)的，此時點(diǎn)C的坐標(biāo)可表表示為(a,0),再由及可用a將點(diǎn)A的坐標(biāo)表示出來，因?yàn)辄c(diǎn)在已知橢圓上，將A點(diǎn)坐標(biāo)代入可得到關(guān)于a,b的一個方程，聯(lián)立可解出a,b的值；（3）注意由（2）結(jié)論可得到：橢圓的方程為，應(yīng)用點(diǎn)差法：設(shè)出，由得到①，再由得到②；再將A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程后相減，可將直線AB的斜率用A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，同理將C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入橢圓方程后相減，可將直線CD的斜率用C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)來表示，由平面幾何知識可知AB//CD，所以=，再將①②代入即可求出含與的方程，可解得的值，此值若與有關(guān)，則不是定值，此值若與無關(guān)，則是定值.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060012834633.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，得，即，
所以離心率.                                                   4分
（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824060013911557.png" style="vertical-align:middle;" />，，所以由，得，          7分
將它代入到橢圓方程中，得，解得，
所以.                                                     10分
（3）法一：設(shè)，
由，得，                                     12分
又橢圓的方程為，所以由，
得  ①，  且   ②，
由②得，，
即，
結(jié)合①，得，                                 14分
同理，有，所以，
從而，即為定值.                                   16分
法二：設(shè)，
由，得，同理，  12分
將坐標(biāo)代入橢圓方程得，兩式相減得
，
即，   14分
同理，，
而，所以，
所以，
所以，
即，所以為定值.                            16分
（說明：只給對結(jié)論但未正確證明的，給2分）