Question

設函數f（x）=lnx，有以下4個命題：
①對任意的x₁、x₂∈（0，+∞），有f(

x1+x2

2

)≤

f(x1)+f(x2)

2

；
②對任意的x₁、x₂∈（1，+∞），有f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁；
③對任意的x₁、x₂∈（e，+∞），有x₁f（x₂）＜x₂f（x₁）；
④對任意的0＜x₁＜x₂，總有x₀∈（x₁，x₂），使得f(x0)≤

f(x1)-f(x2)

x1-x2

．其中正確的是______（填寫序號）．

Answer 1

∵f（x）=lnx是（0，+∞）上的增函數，
∴對于①由f(

x1+x2

2

)=ln

x1+x2

2

，

f(x1)+f(x2)

2

=ln

x1x2

，∵

x1+x2

2

＞

x1x2

故f(

x1+x2

2

)＞

f(x1)+f(x2)

2

故①錯誤．
對于②③，不妨設x₁＜x₂則有f（x₁）＜f（x₂），
故由增函數的定義得f（x₁）-f（x₂）＜x₂-x₁ 故②正確，
由不等式的性質得x₁f（x₁）＜x₂f（x₂），故③錯誤；
對于④令1=x₁＜x₂=e²，x₀=e得，f（x₀）＞

f(x1)-f(x2)

x1-x2

，故④錯誤．
故答案為②．