Question

（2013•江蘇）如圖，在平面直角坐標系xOy中，點A（0，3），直線l：y=2x-4．設圓C的半徑為1，圓心在l上．
（1）若圓心C也在直線y=x-1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程；
（2）若圓C上存在點M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）聯立直線l與直線y=x-1解析式，求出方程組的解得到圓心C坐標，根據A坐標設出切線的方程，由圓心到切線的距離等于圓的半徑，列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，確定出切線方程即可；
（2）設M（x，y），由MA=2MO，利用兩點間的距離公式列出關系式，整理后得到點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，由M在圓C上，得到圓C與圓D相交或相切，根據兩圓的半徑長，得出兩圓心間的距離范圍，利用兩點間的距離公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范圍．

解答：解：（1）聯立得：

y=x-1 y=2x-4

，
解得：

x=3 y=2

，
∴圓心C（3，2）．
若k不存在，不合題意；
若k存在，設切線為：y=kx+3，可得圓心到切線的距離d=r，即

|3k+3-2|

1+k2

=1，
解得：k=0或k=-

3

4

，
則所求切線為y=3或y+

3

4

x-3=0；
（2）設點M（x，y），由MA=2MO，知：

x2+(y-3)2

=2

x2+y2

，
化簡得：x²+（y+1）²=4，
∴點M的軌跡為以（0，-1）為圓心，2為半徑的圓，可記為圓D，
又∵點M在圓C上，
∴圓C與圓D的關系為相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=

a2+(2a-3)2

，
∴1≤

a2+(2a-3)2

≤3，
解得：0≤a≤

12

5

．

點評：此題考查了圓的切線方程，點到直線的距離公式，以及圓與圓的位置關系的判定，涉及的知識有：兩直線的交點坐標，直線的點斜式方程，兩點間的距離公式，圓的標準方程，是一道綜合性較強的試題．