Question

【題目】己知函數.

（Ⅰ）求函數的單調區間；

（Ⅱ）若函數的最小值為-1，，數列滿足，，記，表示不超過的最大整數．證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析; （Ⅱ）見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）函數求導，討論和兩種情況即可；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知函數的最小值點為，得，令，進而得，則由歸納可猜想當時，，利用數學歸納法可證得，于是，，則，從而利用裂項相消法可得證.

詳解：（Ⅰ）函數的定義域為.

1、當時，，即在上為增函數；

2、當時，令得，即在上為增函數；

同理可得在上為減函數.

（Ⅱ）有最小值為-1，由（Ⅰ）知函數的最小值點為，

即，則，

令，

當時，，故在上是減函數

所以當時

∵，∴.（未證明，直接得出不扣分）

則.由得，

從而.∵，∴.

猜想當時，.

下面用數學歸納法證明猜想正確.

1、當時，猜想正確.

2、假設時，猜想正確.

即時，.

當時，有，

由（Ⅰ）知是上的增函數，

則，即，

由得.

綜合1、2得：對一切，猜想正確.

即時，.

于是，，則.

故