Question

【題目】已知函數f（x）=log4（4x+1）+kx（k∈R）是偶函數．
（1）求實數k的值；
（2）設g（x）=log4（a2x+a），若f（x）=g（x）有且只有一個實數解，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（1）由函數f（x）是偶函數可知：f（x）=f（﹣x），
∴，化簡得，
即x=﹣2kx對一切x∈R恒成立，∴k=-．
（2）由題意可得，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，
即方程有且只有一個實根，
化簡得：方程有且只有一個實根，且a2x+a＞0成立，則a＞0．
令t=2x＞0，則（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一個正根，
設g（t）=（a﹣1）t2+at﹣1，注意到g（0）=﹣1＜0，
所以①當a=1時，有t=1，合題意；
②當0＜a＜1時，g（t）圖象開口向下，且g（0）=﹣1＜0，則需滿足，
此時有a=-2+2；a=-2-2（舍去）．
③當a＞1時，又g（0）=﹣1，方程恒有一個正根與一個負根．
綜上可知，a的取值范圍是{-2+2}∪[1，+∞）．
【解析】（1）由f（x）=f（﹣x），化簡可得x=﹣2kx對一切x∈R恒成立，從而求得k的值．
（2）由題意可得，函數f（x）與g（x）的圖象有且只有一個公共點，方程有且只有一個實根，且a2x+a＞0成立，則a＞0．令t=2x＞0，則（a﹣1）t2+at﹣1=0有且只有一個正根，分類討論求得a的范圍，綜合可得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．