Question

從某學校高三年級共800名男生中隨機抽取50名作為樣本測量身高．據測量，被測學生身高全部介于155cm和195cm之間，將測量結果按如下方式分成八組：第一組[155，160）第二組[160，165）；…第八組[190，195]．下圖是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分．已知第一組與第八組人數相同，第六組、第七組、第八組人數依次構成等差數列．
（Ⅰ）估計這所學校高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數；
（Ⅱ）在上述樣本中從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生，記他們的身高分別為x，y，求滿足“|x-y|≤5”的事件的概率；
（Ⅲ）在上述樣本中從最后三組中任取3名學生參加學校籃球隊，用ξ表示從第八組中取到的學生人數，求ξ的分布列和數學期望．

Answer 1

（Ⅰ）解法一：第一組人數為0.008×5×50=2人，
則第八組也為2人，第二組人數為0.016×5×50=4人，
第三組與第四組人數分別為0.04×5×50=10人，
第五組人數為0.06×5×50=15人，
由于第六組，第七組，第八組的人數依次構成等差數列，
設第七組人數為a人，第八組人數為b人，
則a+b=7，2+b=2a，解得a=3，b=4．
從而這所學校高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數為：
800×

2+3+4

50

=144人．
…（4分）
解法二：由題意得，這所學校高三年級全體男生身高在180cm以上（含180cm）的人數為：
800×[1-（0.008×5+0.016×5+0.04×5×2+0.06×5）]=144人．…（4分）
（Ⅱ）第六組人數為4人，第八組人數為2人．
由題意得，從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機抽取兩名男生的基本事件總數為

C

26

=15種，
身高x，y滿足“|x-y|≤5”的基本事件數為

C

24

+

C

22

=7種，
所以P(|x-y|≤5)=

7

15

．…（7分）
（Ⅲ）ξ的所有可能取值為0，1，2．…（8分）
P(ξ=0)=

C 37 C 02

C 39

=

35

84

=

5

12

；
P(ξ=1)=

C 27 C 12

C 39

=

42

84

=

1

2

；
P(ξ=2)=

C 17 C 22

C 39

=

7

84

=

1

12

．…（11分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2
P	5 12	1 2	1 12

故Eξ=0×

5

12

+1×

1

2

+2×

1

12

=

2

3

．…（12分）