Question

【題目】如圖，正方體的棱長為分別是棱，的中點，過點的平面分別與棱，交于點，設.給出以下四個命題：

①平面與平面所成角的最大值為45°；

②四邊形的面積的最小值為；

③四棱錐的體積為；

④點到平面的距離的最大值為.

其中命題正確的序號為（ ）

A.②③④B.②③C.①②④D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

由兩平面所成角的余弦公式即面積射影公式,計算可得所求最大值,可判斷①;由四邊形為菱形,計算面積,考慮的最小值,可判斷②;由棱錐的等體積法,計算可判斷③;由等體積法和函數的性質可判斷④.

對于①,由面面平行的性質定理可得,,

可得四邊形為平行四邊形,

又直角梯形和直角梯形全等,可得,

即有四邊形為菱形,且,

平面在底面上的射影為四邊形,

設平面與平面所成角為,

由面積射影公式可得,

由,可得,

可得平面與平面所成角的最大值不為,故①錯誤;

對于②,由,可得菱形的面積的最小值為,故②正確;

對于③,因為四棱錐的體積為,故③正確;

對于④,,,

設到平面的距離為,可得,

所以(其中,

當即時,取得最大值,故④正確.

故選:C.