Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（-1，0），離心率為

2

2

．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）設過點F且不與坐標軸垂直的直線l交橢圓于A，B兩點，線段AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G的橫坐標的取值范圍．

Answer 1

（1）因為橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F₁（-1，0），
所以c=1，
又因為離心率為

2

2

，
所以a=

2

所以b²=1
所以橢圓的方程為

x2

2

+y2=1，
（2）設直線AB的方程為y=k（x+1）（k≠0），
代入

x2

2

+y2=1，整理得
（1+2k²）x²+4k²x+2k²-2=0．
∵直線AB過橢圓的左焦點F，
∴方程有兩個不等實根．
記A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點N（x₀，y₀），
則 x1+x2=-

4k2

2k2+1

，
∴AB的垂直平分線NG的方程為 y-y0=-

1

k

(x-x0)．
令y=0，得 xG=x0+ky0=-

2k2

2k2+1

+

k2

2k2+1

=-

k2

2k2+1

=-

1

2

+

1

4k2+2

．
∵k≠0，∴-

1

2

＜xG＜0，
∴點G橫坐標的取值范圍為 (-

1

2

，0)．