Question

【題目】選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程

在極坐標(biāo)系中，曲線，，C與l有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)．

（Ⅰ）求a；

（Ⅱ）O為極點(diǎn)，A，B為C上的兩點(diǎn)，且，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

試題分析（I）把圓與直線的極坐標(biāo)方程分別化為直角坐標(biāo)方程，利用直線與圓相切的性質(zhì)即可得出a；

（II）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）=2cos（θ+），利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解：（Ⅰ）曲線C：ρ=2acosθ（a＞0），變形ρ2=2ρa(bǔ)cosθ，化為x2+y2=2ax，即（x﹣a）2+y2=a2．

∴曲線C是以（a，0）為圓心，以a為半徑的圓；

由l：ρcos（θ﹣）=，展開(kāi)為，

∴l(xiāng)的直角坐標(biāo)方程為x+y﹣3=0．

由直線l與圓C相切可得=a，解得a=1．

（Ⅱ）不妨設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ+，

則|OA|+|OB|=2cosθ+2cos（θ+）

=3cosθ﹣sinθ=2cos（θ+），

當(dāng)θ=﹣時(shí)，|OA|+|OB|取得最大值2．