Question

已知函數(shù)f（x）=1+cos2x-2sin（x-

π

6

），x∈R
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期和對稱中心；
（Ⅱ）若將f（x）的圖象向左平移m（m＞0）個單位后所得到的圖象關(guān)于y軸對稱，求實數(shù)m的最小值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）利用二倍角公式和兩角和公式對函數(shù)解析式化簡，根據(jù)三角函數(shù)圖象與性質(zhì)求得函數(shù)周期和對稱中心．
（Ⅱ）先求得g（x）的表達式，進而根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)求得m的表達式，進而求得m的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=1+cos2x-2sin²（x-

π

6

）=cos2x+cos2（x-

π

6

）=

3

2

cos2x+

3

2

sin2x=

3

sin（2x+

π

3

）
由2x+

π

3

=kπ，得x=

kπ

2

-

π

6

，k∈Z，
所以對稱中心為（

kπ

2

-

π

6

，0），k∈Z，
T=

2π

2

=π，即函數(shù)的周期為π．
（Ⅱ）將f（x）=

3

sin（2x+

π

3

）的圖象向左平移m個單位后得到，g（x）=

3

sin[2（x+m）+

π

3

]=

3

sin（2x+2m+

π

3

），
所以2m+

π

3

=kπ+

π

2

，即m=

kπ

2

+

π

12

．因為m＞0，所以的最小值為

π

12

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)．綜合性較強，對學(xué)生基礎(chǔ)知識的要求較高．