Question

如圖，正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，D是BC的中點(diǎn)，AA₁=AB=2．
（Ⅰ）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求點(diǎn)C₁到平面AB₁D的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）取C₁B₁的中點(diǎn)E，連接A₁E，ED，易證平面A₁EC∥平面AB₁D，利用面面平行的性質(zhì)即可證得A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）由VC1-AB1D=VA-C1B1D可得點(diǎn)C₁到平面AB₁D的距離．

解答： （Ⅰ）證明：取C₁B₁的中點(diǎn)E，連接A₁E，ED，
則四邊形B₁DCE為平行四邊形，
于是有B₁D∥EC，又A₁E∥AD，B₁D∩AD=D，A₁E∩EC=E，
∴平面A₁EC∥平面AB₁D，A₁C?平面A₁EC，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（Ⅱ）解：由題意，△AB₁D中，AD=

3

，B₁D=

5

，AD⊥B₁D，
∴S△AB1D=

1

2

×

3

×

5

=

15

2

，
設(shè)點(diǎn)C₁到平面AB₁D的距離為h，則
由VC1-AB1D=VA-C1B1D可得

1

3

×

15

2

h=

1

3

×

1

2

×2×2×

3

=

4 5

5

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間垂直關(guān)系、平行關(guān)系的證明，根據(jù)三棱錐的體積求點(diǎn)到平面的距離，屬于中檔題．