Question

在平面直角坐標系中，有橢圓(其中θ為參數)和拋物線(其中t為參數).

(1)是否存在這樣的m值，使得該橢圓與該拋物線有四個不同的交點？請說明理由.

(2)當m取何值時，該橢圓與該拋物線的交點與坐標原點的距離等于這個交點與該橢圓中心的距離？

Answer 1

思路分析：本題所給的兩條曲線都是其參數方程的形式,如果該題直接根據其參數方程來進行計算也許比較麻煩,所以本題可考慮將參數消去,轉化為普通方程來求解,從而達到目的.與此同時,本題也是對于學生的函數方面的知識的一個考查.

解：（1）將題中的橢圓及拋物線方程分別消參化為普通方程,并聯立得方程組

消去y得x²+(8-2m)x+m²-16=0,令f(x)=x²+(8-2m)x+m²-16.

由拋物線方程知x≥,則橢圓與拋物線有四個交點的充要條件是方程f(x)=0在［,+∞)上有兩個不等的實根,即

即

顯然此不等式組無解,故滿足題設條件的m值不存在.

（2）由Δ≥0得m≤4,又知橢圓的半長軸a=2,拋物線的頂點為(,0),故當-2≤m-≤2,-≤m≤時,橢圓與拋物線必相交.

若滿足題設條件,可有以下兩種情況：①橢圓中心與原點重合,此時m=0；②橢圓與拋物線的交點在橢圓中心與原點所連線段的垂直平分線上,即交點在直線x=上,將x=代入x²+(8-2m)x+m²-16=0,得m²+16m-64=0,解得m=-8±（舍去負值）.

綜上所述,滿足題設條件的m值應為m=0或-8+.