Question

如圖，在平面直角坐標系中，N為圓A：（x+1）²+y²=16上的一動點，點B（1，0），點M是BN中點，點P在線段AN上，且
（I）求動點P的軌跡方程；
（II）試判斷以PB為直徑的圓與圓x²+y²=4的位置關系，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題設，依據橢圓定義知，點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓，依橢圓定義寫出標準方程．
（2）求出兩圓的圓心距以及兩圓的半徑，根據兩圓的位置關系判斷即得，兩圓的位置關系有五種，應根據條件判斷出應是那一種．
解答：解：（I）由點M是BN中點，又=0，
可知PM垂直平分BN．所以|PN|=|PB|，又|PA|+|PN|=|AN|，
所以|PA|+|PB|=4．
由橢圓定義知，點P的軌跡是以A，B為焦點的橢圓．
如圖焦點在x軸上，
由2a=4，2c=2，可得a²=4，b²=3．
可知動點P的軌跡方程為=1   （6分）
（II）解：設點P（x，y），PB的中點為Q，，則Q（），
|PB|====2-x，
即以PB為直徑的圓的圓心為Q（），，半徑為1-x，，
又圓x²+y²=4的圓心為O（0，0），半徑r₂=2，
又|OQ|===1+
故|OQ|=r₂-r₁，即兩圓內切．（13分）
點評：考查橢圓的定義法求橢圓的方程以及兩圓的位置關系的判斷．考查基礎知識的題型．