Question

如圖，在平面直角坐標中，一定長m的線段，其端點A、B分別在x軸、y軸上滑動，設點M滿足=λ(λ是大于0，且不等于1的常數).

試問：是否存在定點E、F，使|ME|、|MB|、|MF|成等差數列？若存在，求出E、F的坐標；若不存在，說明理由.

Answer 1

解：假設存在兩個定點E、F，使|EM|、|MB|、|MF|成等差數列，則|ME|+|MF|=2|MB|.∵|MB|=為定值，設M(x,y),A(a,0),B(0,b),∵=,∵, ,∴a=(1+λ)x,b=,又a²+b ²=m ²,∴(1+λ) ²x²+y²=m²,∵λ＞0且λ≠1,軌跡為橢圓型的曲線.?

(1)當0＜λ＜1時方程化為,∴這個橢圓的長半軸長為,焦點為（,0）.∴|ME|+|MF|==2·|MB|,此時焦點為符合條件的兩個定點.?

(2)當λ＞1, ,此時長半軸為,而不是,故不存在符合條件的兩定點.