Question

在直角坐標系中，O為坐標原點，已知動圓與直線x=-1相切，且過定點F（1，0），動圓圓心為M．
（1）求點M的軌跡C的方程；
（2）若過點F（1，0）的直線L與曲線C交于A，B兩點，又點Q（-1，0），求△（3）QAB面積的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意知：|MN|=|MF|，根據拋物線的定義得，M的軌跡為以F為焦點的拋物線，且 p=2，從而寫出拋物線的方程．
（2）當L的斜率不存在時，求出三角形QAB面積，當L的斜率存在時，用點斜式設出L的方程代入拋物線方程，依據根與系數的關系、弦長公式求出|AB|值，Q到L的距離d，代入三角形QAB面積公式并使用基本不等式求出它的最小值．

解答：解：（1）由題意知：|MN|=|MF|，根據拋物線的定義得，M的軌跡為以F為焦點的拋物線，且 p=2，所以M的軌跡C的方程為y²=4x．
（2）當L的斜率不存在時，L：x=1，?A（1，2），B（1，-2），?s△QAB=

1

2

|AB||QF|=4
當L的斜率存在時，可設為K（K≠0），則L：y=K（x-1），與拋物線聯立得

y=K(x-1) y2=4x

?x2-(2+

4

K2

)x+1=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則|AB|=

(1+K2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

4(1+K2)

K2

，又Q到L的距離d=

2|K|

K2+1

，?s△QAB=

1

2

d|AB|=

4 K2+1

|K|

=4

1+ 1 K2

＞4，所以，三角形QAB面積的最小值為4．

點評：本題考查拋物線的定義、標準方程，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，求出|AB|值是解題的關鍵和難點．