Question

在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，

2

)，且與x軸交于點(diǎn)F（2，0）．
（I）求直線l的方程；（II）如果一個(gè)橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，且以點(diǎn)F為它的一個(gè)焦點(diǎn)，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：（I）由于直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，

2

)和F（2，0）根據(jù)直線方程的兩點(diǎn)式可求．
（II）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)由焦點(diǎn)為F（2，0），則a²-b²=4又點(diǎn)P(3，

2

)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)上，則

9

a2

+

2

b2

=1，聯(lián)立方程可求a，b進(jìn)而可求橢圓的方程．

解答：解：（I）由于直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(3，

2

)和F（2，0），
則根據(jù)兩點(diǎn)式得，所求直線l的方程為

y-0

2 -0

=

x-2

3-2

．…（3分）
即y=

2

(x-2)．
從而直線l的方程是y=

2

(x-2)．…（7分）
（II）設(shè)所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)…（8分）
由于一個(gè)焦點(diǎn)為F（2，0），則c=2，即a²-b²=4①…（10分）
又點(diǎn)P(3，

2

)在橢圓

x2

a2

+

y2

b2．

=1(a＞b＞0)上，
則

9

a2

+

2

b2

=1②…（12分）
由①②解得a²=12，b²=8．
所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

12

+

y2

8

=1…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線方程的兩點(diǎn)式的應(yīng)用，及利用橢圓的性質(zhì)求解橢圓的方程，屬于一般的性質(zhì)應(yīng)用及基本計(jì)算型的試題．