Question

（本小題滿分13分）

如圖所示，傾斜角為的直線經過拋物線的焦點F，且與拋物線交于A、B兩點.

（1）求拋物線焦點F的坐標及準線l的方程；中國教考資源網

（2）若為銳角，作線段AB的垂直平分線m交x軸于點P，證明|FP|-|FP|cos2為定值，并求此定值.

Answer 1

（1）

解  由已知得2 p=8,∴=2,…………………………………………2分

∴拋物線的焦點坐標為F（2，0），準線方程為x=-2.…………………………4分

（2）證明  設A（x_A，y_A），B（x_B，y_B），直線AB的斜率為k=tan,則直線方程為y=k(x-2),

將此式代入y²=8x,得k²x2-4(k²+2)x+4k²=0,……………………………………6分

故x_A+x_B=,       ………………………………………………………6分

記直線m與AB的交點為E（x_E,y_E)，則

x_E==,y_E=k(x_E-2)=,     ……………………………………8分

故直線m的方程為y-=-,     ………………………………9分

令y=0,得點P的橫坐標x_P=+4,  ………………………………10分

故|FP|=x_P-2==,  …………………………………………11分

∴|FP|-|FP|cos2=(1-cos2)==8,為定值.…………13分