Question

如圖；已知橢圓C:的離心率為，以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M、N.

（1）求橢圓C的方程；
（2）求的最小值，并求此時圓T的方程;
（3）設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn)，且直線MP,NP分別與軸交于點(diǎn)R，S，O為坐標(biāo)原點(diǎn)。求證：為定值.

Answer 1

（1）（2）取得最小值為-，圓T的方程為：；
（3）

解析試題分析：（1）橢圓C:的離心率為
由橢圓的左頂點(diǎn)為，所以可得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于軸對稱，設(shè)，
 ，再根據(jù)的取值范圍求出的最小值，并由取得最小值的條件確定，進(jìn)而確定圓的半徑.
（3）設(shè)點(diǎn),利用點(diǎn)分別是直線 與軸的交點(diǎn)，把 用表示,
而,結(jié)合點(diǎn)都在橢圓上,將表達(dá)式化簡即可.
試題解析：
解：（1）由題意知解之得；，由得b=1，
故橢圓C方程為;3分
（2）點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于軸對稱，
設(shè) 不妨 設(shè).
由于點(diǎn)M在橢圓C上，,
由已知,
,
階段;
由于故當(dāng)時，取得最小值為-,
當(dāng)時，故又點(diǎn)M在圓T上，代入圓的方程得,故圓T的方程為：；...8分
（3）設(shè)，則直線MP的方程為
令，得，同理, 故，10分
又點(diǎn)M與點(diǎn)P在橢圓上，故 ，
得，
為定值．.14分
考點(diǎn)：1、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程序；3、向量的數(shù)量積；4直線的方程.