如圖長方體
中，底面
是正方形，
是
的中點，
是棱
上任意一點.
⑴求證：
；
⑵如果
，求的長.
（1）證明見解析；（2）
．
【解析】
試題分析：（1）要證線線垂直，一般可先證線面垂直，這個平面要包含其中一條直線，本題中有許多垂直關系，如
，而
平面
，因此有
平面
，
正好是平面內的直線，問題得證；（2）我們采取空間問題平面化，所有條件都可在矩形內，利用平面幾何知識解題，由于
，則有
，這兩個三角形中，有
，又
，這時可求出
，從而求出
的長．
試題解析：（1）是正方形，∴，又長方體的側棱平面，∴
,
，故有平面，又
，∴
． 7分
（2）在長方體
中，是矩形，由，得
，∴
，從而
，∴
，又底面正方形的邊長為2，故
，
，又
，∴
，從而． 14分
說明：用空間向量知識求解相應給分．
考點：（1）空間兩直線垂直；（2）求線段長．
科目：高中數學 來源：2013-2014學年江蘇阜寧中學高三上學期第三次調研測試文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
如圖長方體
中，底面
是正方形，
是
的中點，
是棱
上任意一點.
⑴求證：
；
⑵如果
，求的長.
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科目：高中數學 來源：2013屆廣東省高二下期末文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
(本小題滿分14分)
如圖所示的長方體
中，底面
是邊長為
的正方形，
為
與
的交點，
，
是線段
的中點．
(1)求證：
平面
；
(2)求三棱錐D1-ABC的體積．
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科目：高中數學 來源：2012年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（安徽卷解析版） 題型：解答題
如圖，長方體
中，底面
是正方形，
是
的中點，
是棱
上任意一點。
（Ⅰ）證明：
；
（Ⅱ）如果
=2 ,
=
,
, 求 的長。
【解析】（Ⅰ）因底面是正方形，故
，又側棱垂直底面，可得
,而
,所以
面
，因
,所以
面,又
面，所以 ；
（Ⅱ）因=2 ,=,,可得
,
,設
，由得
，即
，解得
，即 的長為
。
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科目：高中數學 來源：2010-2011學年廣東省高三第一次月考理科數學卷 題型：解答題
（本小題滿分14分）
如圖所示的長方體
中，底面
是邊長為
的正方形，
為
與
的交點，
，
是線段
的中點．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求證：
平面
；
（Ⅲ）求二面角
的大小．
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