Question

【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，過(guò)（M不過(guò)橢圓的頂點(diǎn)和中心）且斜率為k直線l交橢圓于兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)N，且.

（1）若直線l過(guò)點(diǎn)，求的周長(zhǎng)；

（2）若直線l過(guò)點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)R的軌跡方程；

（3）求證：為定值，并求出此定值.

Answer 1

【答案】（1）

（2）

（3）

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的定義，即可求解；

（2）設(shè)直線l方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理，求出相交弦中點(diǎn)的參數(shù)方程，消去參數(shù)，即可求出結(jié)論；

（3）表示成坐標(biāo)關(guān)系，將用坐標(biāo)表示，直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，消元整理為一元二次方程結(jié)合韋達(dá)定理，即可證明為定值.

（1）解：由題意橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng).

的周長(zhǎng)為.

（2）由題意直線.

由得，

由題意恒成立.設(shè)，

則，

.

即（k為參數(shù)）.

消去k得點(diǎn)R的軌跡方程為.

（3）由得，

所以，同理，

由題意直線l的方程為，代入得

，由題意.

由韋達(dá)定理得

.

綜上可知λ為定值.