Question

已知點A(2,8),B(x₁,y₁),C(x₂,y₂)在拋物線y²=2px上，△ABC的重心與此拋物線的焦點F重合(如圖).

(1)寫出該拋物線的方程和焦點F的坐標；

(2)求線段BC中點M的坐標.

Answer 1

解：(1)由點A(2, 8)在拋物線y²=2px上, 有8²=2p2, 解得p=16.

所以拋物線方程為y²=32x, 焦點F的坐標為(8, 0).

(2)如題圖, 由于F(8, 0)是△ABC的重心, M是BC的中點, 所以F是線段AM的定比分點, 且.

設點M的坐標為(x₀, y₀), 則

,,

解得x₀=11, y₀=-4,

所以點M的坐標為(11, -4).