Question

【題目】已知函數與的圖象關于點對稱.

（1）求函數的解析式；

（2）若函數有兩個不同零點，求實數的取值范圍；

（3）若函數在上是單調減函數，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）由題意可得出，進而可求得函數的解析式；

（2）令，得，則問題等價于直線與函數的圖象有兩個交點，作出函數與直線的圖象，利用數形結合思想可求得實數的取值范圍；

（3）任取、且，可得出，進而得出，求出的取值范圍，由此可解得實數的取值范圍.

（1）在函數的圖象上任取一點，

則該點關于點的對稱點在函數的圖象上，

所以，，；

（2）令，得，

則問題等價于直線與函數的圖象有兩個交點，

，

由雙勾函數的單調性可知，函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為和，

函數的單調遞增區間為和，單調遞減區間為和，

作出函數與直線的圖象如下圖所示：

由圖象可知，當或時，直線與函數的圖象有兩個交點，

因此，實數的取值范圍是；

（3）由（1）知，，

任取、且，即，

則，

，則，，

所以，

，，則，，即，

，解得.

因此，實數的取值范圍是.