Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若存在實數，使，求實數的范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案不唯一，具體見解析（2）

【解析】

（1）求導，分類討論即可求得單調性情況；（2）分a＝0，a＜0及a＞0三種情況討論即可求得實數a的取值范圍．

（1）函數的導函數為，

當時，函數在上單調遞增；

當時，函數在上單調遞增，在上單調遞減；

當時，函數在上單調遞減，在上單調遞增.

（2）當時，，有，不符合題意；

當時，由（1）知，

由在單調遞增，且知，

①當時，由（1）知，

此時恒成立，不符合題意；

②當時，，

（預備：很容易證明，而，

所以，，即，

所以，.）

由，

有，即.

所以存在，使得滿足題意.

當時，由（1）知，

由在上單調遞減，且知，

當時，恒成立，不滿足題意；

當時，，

（預備：很容易證明，而，

所以，，即，

所以，.）

由，

有，即，

所以存在，使得滿足題意.

綜上所述，的取值范圍為.