Question

【題目】已知橢圓的長軸長為6，離心率為.

（1）求橢圓C的標準方程；

（2）設橢圓C的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為A，B，點M，N為橢圓C上位于x軸上方的兩點，且，記直線AM，BN的斜率分別為，且,求直線的方程.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）根據長軸長為6，離心率為，可求得的值，即可得答案；

（2）設的方程為，，直線與橢圓的另一個交點為，利用得到方程，與韋達定理聯立，求得，進一步求得關于的方程，求出的值，即可得到直線方程.

（1）由題意，可得，，，

聯立解得，，，

∴橢圓的標準方程為.

（2）如圖，由（1）知，

設的方程為，，

直線與橢圓的另一個交點為，

∵，根據對稱性可得，

聯立，整理得，

∴，

∵，∴，

即，

聯立解得，，

∵，，∴，

∴，∴，

∴直線的方程為，即.