Question

如圖，在邊長為12的正方形A₁ AA′A₁′中，點B、C在線段AA′上，且AB = 3，BC = 4，作BB₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點B₁、P；作CC₁∥AA₁，分別交A₁A₁′、AA₁′于點C₁、Q；將該正方形沿BB₁、CC₁折疊，使得A′A₁′ 與AA₁重合，構成如圖所示的三棱柱ABC—A₁B₁C₁，在三棱柱ABC—A₁B₁C₁中， （Ⅰ）求證：AB⊥平面BCC₁B₁；  （Ⅱ）求面PQA與面ABC所成的銳二面角的大小．（Ⅲ）求面APQ將三棱柱ABC—A₁B₁C₁分成上、下兩部分幾何體的體積之比．

 

Answer 1

(Ⅰ)見解析    (Ⅱ)  arccos （Ⅲ）

解析:

（Ⅰ）∵AB = 3，BC = 4，∴AC = 5

∵AC² = AB² + BC²,∴AB⊥BC,又AB⊥BB_1,

且BC∩BB₁ = B,∴AB⊥面BCC₁B₁  ;   （4分）

   （Ⅱ）如圖，建立空間直角坐標系

則A(3，0，0)，P(0，0，3)，Q(0，4，4)

設面APQ的法向量為= (x，y，z)

= (1，–1，1)而面ABC的法向量可以取= (0，0，1)

∴∴面PQA與面ABC所成的銳二面角

為arccos．  （8分）

   （Ⅲ）∵BP = AB = 3，CQ = AC = 7．∴S_{四邊形BCQP} =

∴V_A—BCQP =×20×3 = 20又∵V=．

∴．