Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1兩漸近線為l₁、l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又設l與l₂交于點P，l與C兩交點自上而下依次為A、B；
（1）當l₁與l₂夾角為

π

3

，雙曲線焦距為4時，求橢圓C的方程及其離心率；
（2）若

FA

=λ

AP

，求λ的最小值．

Answer 1

分析：（1）直接由l₁與l₂夾角為

π

3

，雙曲線焦距為4時列出關于a，b，c的方程，再結合a，b，c之間的關系，求出a，b，c，即可求橢圓C的方程及其離心率；
（2）先聯立l與l₂求出點P的坐標，再根據

FA

=λ

AP

，求出點A的坐標；由點A在橢圓上，即可得到關于λ與e之間的等量關系，最后結合e的取值范圍以及函數求最值的方法即可求λ的最小值．

解答：解：（1）由l₁與l₂夾角為

π

3

知，

b

a

=tan

π

6

=

3

3

…（1分）
又焦距為4∴a=

3

，b=1 
∴橢圓C：

x2

3

+y2=1，
e=

2

3

=

6

3

．…（3分）
（2）不妨設l1：y=

b

a

x，l2：y=-

b

a

x  則l：y=-

a

b

(x-c)
聯立：

y=- a b (x-c) y=- a b x

?P（

a2

c

，-

ab

c

）
 由

FA

=λ

AP

得，

XA= c+λ• a2 c 1+λ yA= λ•(- ab c ) 1+λ

又點A橢圓上，∴

(c+ λa2 c )2

(1+λ)2a2

+

(- abλ c )2

(1+λ)2•b2

 =1
    整理得λ²=

(a2-c2) c2

a2(2a2-c2)

…（7分）
∴λ²=

e2-e4

2-e2

=

(e2-2)2+3(e2-2 )+2

e2-2

=（e²-2）+

2

e2-2

+3
∵0＜e＜1∴-2＜e²-2＜-1   
∴-3＜（e²-2）+

2

e2-2

≤-2

2

∴0＜λ²≤3-2

2

．
 由題知，λ＜0∴1-

2

≤λ＜0 …（9分）
所以，λ的最小值為1-

2

．…（10分）

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合問題．第二問涉及到用基本不等式求函數的值域，在用基本不等式求函數的值域時，要注意其適用的三個限制條件：①均為正數，②積（或）和為定值，③等號成立時變量有意義．
所以在第二問用基本不等式求函數的值域時，須注意把其轉化為正數再求解．