Question

直角坐標系xoy中，已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右頂點分別是A₁，A₂，上、下頂點為B₂，B₁，點P（

3

5

a，m）（m＞0）是橢圓C上一點，PO⊥A₂B₂，直線PO分別交A₁B₁、A₂B₂于點M、N．
（1）求橢圓離心率；
（2）若MN=

4 21

7

，求橢圓C的方程；
（3）在（2）的條件下，設R點是橢圓C上位于第一象限內的點，F₁、F₂是橢圓C的左、右焦點，RQ平分∠F₁RF₂且與y軸交于點Q，求點Q縱坐標的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據點P在橢圓上可把P點坐標用a，b表示出來，由PO⊥A₂B₂，可得KA2B2•K_OP=-1，由此可得a，b的關系式，連同a²=b²+c²可求得e值；
（2）由MN=

4 21

7

可得關于a，b的一方程，再根據（1）中離心率值即可求得a，b值，從而求得橢圓方程；
（3）設R（x₀，y₀），Q（0，t），由題意得cos∠F₁RQ=cos∠F₂RQ，利用向量夾角公式可表示成關于y₀與t的式子，根據y₀的范圍即可求得t的范圍；

解答：解：（1）因為點P在橢圓上，所以在方程中令x=

3

5

a，得m=

4

5

b，故P（

3a

5

，

4b

5

），
∵PO⊥A₂B₂，∴KA2B2•K_OP=-1，即-

b

a

×

4 5 b

3 5 a

=-1，
∴4b²=3a²=4（a²-c²），∴a²=4c²，∴e=

1

2

①，
故橢圓的離心率為

1

2

；
（2）MN=

4 21

7

=

2

1 a2 + 1 b2

，∴

a2+b2

a2b2

=

7

12

②
聯立①②解得，a²=4，b²=3，
∴橢圓C的方程為：

x2

4

+

y2

3

=1．
（3）由（2）可得F₁（-1，0），F₂（1，0），
設∠F₁RQ=α，∠F₂RQ=β，則cosα=cosβ，
∴

RF 1• RQ

| RF 1|•| RQ |

=

RF2 • RQ

| RF2 |•| RQ |

．
設R（x₀，y₀），Q（0，t），
則

(-1-x0，-y0)(-x0，t-y 0)

(x0+1)2+y02

=

(1-x0，-y0)(-x0，t-y 0)

(x0-1)2+y 02

化簡得：t=-

1

3

y₀，
∵0＜y₀＜

3

，t∈（-

3

3

，0）．
故點Q縱坐標的取值范圍為：（-

3

3

，0）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系以及橢圓標準方程的求解，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，屬難題．