Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的側棱AA₁⊥平面ABC,△ABC為正三角形，側面AA₁C₁C是正方形, E是的中點,F是棱CC₁上的點.

（1）當時，求正方形AA₁C₁C的邊長；
（2）當A₁F+FB最小時，求證：AE⊥平面A₁FB.

Answer 1

（1）2；（2）參考解析

試題分析：（1）依題意可得△EAB的面積為定值，點F到平面EAB的距離為定值即為點C到平面平面的距離.又因為△ABC為正三角形，側面AA₁C₁C是正方形，所以假設正方形AA₁C₁C為x，再根據等式，即可求出結論.
（2）因為當A₁F+FB最小時，即需要將三棱柱的側面展開，通過計算得到符合條件的F為中點.由線面垂直的判斷定理，轉化為線線垂直，由條件的即可證得.解（二）通過線段長的計算得到直角三角形，從而得到線與線垂直，也可行.
試題解析：（1）設正方形AA₁C₁C的邊長為由于E是的中點，△EAB的面積為定值.
∥平面，點F到平面EAB的距離為定值即為點C到平面平面的距離
又，且=.即，. 
（2）解法一：將側面展開到側面得到矩形,連結,交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,

為的中點.
取AB中點O，連接OE,EF，OC，為平行四邊形，

△ABC為正三角形，，又平面ABC，,且,平面,平面，
,又∥,由于E是的中點，所以,又,
所以直線AE與平面垂直
解法二：將側面展開到側面得到矩形,連結,交于點,此時點使得最小.此時平行且等于的一半,為的中點.
過點作交于，則是的中點，.
過點作交于，則
又于是在中，
在中，
在中，， ∴
由于E是的中點，所以,又,
所以直線AE與平面垂直