Question

【題目】已知定義在R上的奇函數f（x）和偶函數g（x）滿足f（x）=2g（x）+ ，若f（ ）+f（cos2θ）＜f（π）﹣f（ ），則θ的取值范圍是（ ）
A.（2kπ+ ，2kπ+ ），k∈Z
B.（2kπ﹣ ，2kπ）∪（2kπ，2kπ+π）∪（2kπ+π，2kπ+ π），k∈Z
C.（2kπ﹣ ，2kπ﹣ ），k∈Z
D.（2kπ﹣ ，2kπ﹣π）∪（2kπ﹣π，2kπ）∪（2kπ，2kπ+ ），k∈Z

Answer 1

【答案】C
【解析】解：由題意，﹣f（x）=2g（x）+ ，f（x）=2g（x）+ ， ∴f（x）= ，∴f（ ）= ，
又f′（x）= ，∴函數f（x）在（﹣1，1）上單調遞增，（﹣∞，﹣1），（1，+∞）上單調遞減
∵f（ ）+f（cos2θ）＜f（π）﹣f（ ），
∴f（ ）+f（cos2θ）＜0，
∴f（sinθ）＜f（﹣cos2θ），且sinθ≠0
∴sinθ＜﹣cos2θ，且sinθ≠0
∴2sin2θ﹣sinθ﹣1＞0，且sinθ≠0
∴sinθ＜﹣ ，且sinθ≠0，
∴θ∈（2kπ﹣ ，2kπ﹣ ），k∈Z，
故選C．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數奇偶性的性質的相關知識，掌握在公共定義域內，偶函數的加減乘除仍為偶函數；奇函數的加減仍為奇函數；奇數個奇函數的乘除認為奇函數；偶數個奇函數的乘除為偶函數；一奇一偶的乘積是奇函數;復合函數的奇偶性：一個為偶就為偶，兩個為奇才為奇．