Question

（本題滿分10分）已知函數．
（I）討論的單調性；
（II）設，證明：當時，；
（III）若函數的圖像與x軸交于A，B兩點，線段AB中點的橫坐標為x₀，
證明：（x₀）＜0．

Answer 1

（1）單調增加，在單調減少；（2）當，（3）見解析.

第一問利用導數求解得到。
（I） 
（i）若單調增加.
（ii）若且當

所以單調增加，在單調減少.
第二問中，構造函數設函數則   

結合導數得到單調性判定進而求解。
第三問中，由（I）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，
故，從而的最大值為
解：（I） 
（i）若單調增加.
（ii）若且當

所以單調增加，在單調減少. ………………3分
（II）設函數則   

當.
故當，  ………………6分
（III）由（I）可得，當的圖像與x軸至多有一個交點，
故，從而的最大值為
不妨設  
由（II）得從而
由（I）知，  ………………10分