Question

（本小題滿分14分）
已知函數．
（Ⅰ）當時，如果函數僅有一個零點，求實數的取值范圍；
（Ⅱ）當時，試比較與1的大小；
（Ⅲ）求證：．

Answer 1

（1）或；
（2）①當時，，即；
②當時，，即；
③當時，，即．
（3）見解析.

(I)本小題的實質是利用導數研究函數f(x)的單調性極值，結合草圖，確定出直線y=k與函數y=f(x)的圖像有一個公共點時，確定k的取值范圍.
(II)當a=2時，可以采用作差法比較f(x)與1的大小，然后構造函數，研究其單調區間最值，從而判斷它們之間的大小關系.
(III)解決本小題最佳途徑是利用(2)的結論，當時，，即．
令，則有， 然后解本題的另一個關鍵點判斷出,從而證明出.
另外也可以考慮數學歸納法.
解：（Ⅰ）當時，，定義域是，
， 令，得或． …2分
當或時，，當時，，
函數在、上單調遞增，在上單調遞減． ……………4分
的極大值是，極小值是．
當時，；當時，，
當僅有一個零點時，的取值范圍是或．………5分
（Ⅱ）當時，，定義域為．
令，
，
在上是增函數．             ……………………7分
①當時，，即；
②當時，，即；
③當時，，即． …………………………………9分
（Ⅲ）（法一）根據（2）的結論，當時，，即．
令，則有，   ． ……12分
，
．               ………………………14分
（法二）當時，．
，，即時命題成立．  …………………10分
設當時，命題成立，即 ．
時，．
根據（Ⅱ）的結論，當時，，即．
令，則有，
則有，即時命題也成立．………13分
因此，由數學歸納法可知不等式成立．                ………………………14分
（法三）如圖，根據定積分的定義，

得．……11分

，

． ………………………………12分
，
又，，
．
．               …………………………………14分