Question

（2012•長春模擬）已知函數f（x）=

sinx

2+cosx

-bx（b∈R）．
（1）是否存在實數b，使得f（x）在（0，

2π

3

）上為增函數，在（

2π

3

，π）上為減函數？若存在，求出b的值；若不存在，請說明理由．
（2）如果當x≥0時，都有f（x）≤0恒成立，試求b的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）=

sinx

2+cosx

-bx求導，若存在實數b，使得f（x）在（0，

2π

3

）上為增函數，在（

2π

3

，π）上為減函數，則f′(

2π

3

)=0，由此可得結論；
（2）令f′(x)=

-bcos2x+2(1-2b)cosx+1-4b

(2+cosx)2

=0，得-bcos²x+2（1-2b）cosx+1-4b=0，再分類討論，利用當x≥0時，都有f（x）≤0恒成立，即可試求b的取值范圍．

解答：解：（1）存在b=0，使得結論成立．
對函數f（x）=

sinx

2+cosx

-bx求導得f′(x)=

2cosx

(2+cosx)2

-b．
若存在實數b，使得f（x）在（0，

2π

3

）上為增函數，在（

2π

3

，π）上為減函數，則f′(

2π

3

)=0，
∴b=0，這時f′(x)=

2cosx

(2+cosx)2

，當x∈（0，

2π

3

）時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當x∈（

2π

3

，π）時，f′（x）＜0，f（x）遞減．
（2）令f′(x)=

-bcos2x+2(1-2b)cosx+1-4b

(2+cosx)2

=0，
得-bcos²x+2（1-2b）cosx+1-4b=0．
∴△=4（1-2b）²+4b（1-4b）=4（1-3b）．
若b≥

1

3

，即△≤0，則f′（x）≤0對x≥0恒成立，這時f（x）在[0，+∞）上遞減，
∴f（x）≤f（0）=0，符合題意．
若b＜0，則當x≥0時，-bx∈[0，+∞），

sinx

2+cosx

∈[-

3

3

，

3

3

]，f（x）=

sinx

2+cosx

-bx不可能恒小于等于0．
若b=0，則f（x）=

sinx

2+cosx

∈[-

3

3

，

3

3

]，不合題意．
若0＜b＜

1

3

，則f′（0）=

1-3b

3

＞0，f′（π）=-b-1＜0，∴?x₀∈（0，π），使f′（x₀）=0．
x∈（0，x₀）時，f′（x）＞0，這時f（x）遞增，f（x）＞f（0）=0，不合題意．
綜上可得實數b的取值范圍是[

1

3

，+∞）．

點評：本題主要考查函數與導數的綜合應用能力，具體涉及到用導數來研究函數的單調性等知識內容．