Question

設非零復數x，y滿足　x²+xy+y²=0，則代數式　（

x

x+y

）²⁰⁰⁵+（

y

x+y

）²⁰⁰⁵的值是______．

Answer 1

將已知方程變形為　(

x

y

)2+

x

y

=1，解這個一元二次方程，得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，
顯然有ω³=1，1+ω=-ω²，而 2005=3×668+1，
則原式=（

x

x+y

）²⁰⁰⁵+（

y

x+y

）²⁰⁰⁵ =

ω2005

(1+ω )2005

+

1

(1+ω )2005

=

ω

(-ω2)2005

+

1

(-ω2)2005

=

1+ω

-ω2

=1，
故答案為1．