Question

設非零復數x、y滿足x²+xy+y²=0，則代數式(

x

x+y

)2008+(

y

x+y

)2008的值是 ．

Answer 1

將已知方程變形為　 (

x

y

)2+

x

y

+1=0，解這個一元二次方程，
得

x

y

= -

1

2

 ±

3

2

i=ω，
顯然有ω³=1，1+ω=-ω²，而 2008=3×669+1，
則原式=（

x

x+y

）²⁰⁰⁸+（

y

x+y

）²⁰⁰⁸ =

ω2008

(1+ω )2008

+

1

(1+ω )2008

=

ω

(-ω2)2008

+

1

(-ω2)2008

=-1
故答案為：-1