Question

雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）過其左焦點F₁作x軸的垂線交雙曲線于A，B兩點，若雙曲線右頂點在以AB為直徑的圓內，則雙曲線離心率的取值范圍為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由右頂點M在以AB為直徑的圓的內部，得|MF|＜|AF|，將其轉化為關于a、b、c的式子，再結合平方關系和離心率的公式，化簡整理得e²-e-2＞0，解之即可得到此雙曲線的離心率e的取值范圍．

解答： 解：由于雙曲線

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），則直線AB方程為：x=-c，其中c=

a2+b2

，
因此，設A（-c，y₀），B（-c，-y₀），
∴

c2

a2

-

y02

b2

=1，解之得y₀=

b2

a

，得|AF|=

b2

a

，
∵雙曲線的右頂點M（a，0）在以AB為直徑的圓內部
∴|MF|＜|AF|，即a+c＜

b2

a

，
將b²=c²-a²，并化簡整理，得2a²+ac-c²＜0
兩邊都除以a²，整理得e²-e-2＞0，解之得e＞2（舍負）
故答案為：e＞2．

點評：本題給出以雙曲線通徑為直徑的圓，當左焦點在此圓內時求雙曲線的離心率，著重考查了雙曲線的標準方程和簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．