Question

【題目】已知動圓過點且與直線相切.

（1）求圓心的軌跡的方程；

（2）過的直線與交于，兩點，分別過，做的垂線，垂足為，，線段的中點為.

①求證：；

②記四邊形，的面積分別為，，若，求.

Answer 1

【答案】（1）（2）①證明見解析；②

【解析】

（1）根據拋物線的定義得到點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，進而求得方程；

（2）①設，，則，，得到，設直線的方程為，與聯立，分，兩種情況，結合直線垂直的條件證得結果；

②根據三角形的面積比，得到坐標比，結合①，從而得到，得到結果.

（1）∵動圓過點且與直線相切，

∴點到的距離等于到的距離，

∴點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為.

（2）①證法一：設，，則，，

∵為線段的中點，∴，

依題意可設直線的方程為，

由得，

，，，

∴，

當時，，關于軸對稱，點恰為與軸的交點，滿足；

當時，，∴，∴，

綜上，.

證法二：連接，，設直線與軸的交點為，

∵軸，，∴，

同理，，

∴，

∴，

又，，∴，

∴，即.

②法一：由得，

同理，≌，

故，

由知，異號，故，

∴，，

∴.

法二：由得，

同理，

故，

由對稱性，不妨設點在軸上方，直線的傾斜角為，

由定義易得，

∴，同理，

∴，即，

∴.