Question

已知函數f（x）=

1

3

x3+

a-2

2

x2-2ax-3，g（a）=

1

6

a3+5a-7．
（1）當a=1時，求函數f（x）的單調遞增區間；
（2）若函數f（x）在[-2，0]上不單調，且x∈[-2，0]時，不等式f（x）＜g（a）恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，利用導數大于0，可得函數f（x）的單調遞增區間；
（2）利用f（x）在[-2，0]上不單調，確定0＜a＜2，x∈[-2，0]時，不等式f（x）＜g（a）恒成立，等價于f（-a）＜g（a），從而可求實數a的取值范圍．

解答：解：（1）當a=1時，f（x）=

1

3

x3-

1

2

x2-2x-3
∴f′（x）=x²-x-2=（x-2）（x+1）
令f′（x）＞0，可得x＜-1或x＞2
∴函數f（x）的單調遞增區間是（-∞，1），（2，+∞）；
（2）求導函數，可得f′（x）=x²+（a-2）x-2a=（x+a）（x-2）
∵f（x）在[-2，0]上不單調，
∴-2＜-a＜0
∴0＜a＜2
∵x∈[-2，0]時，不等式f（x）＜g（a）恒成立，
∴f（-a）＜g（a）
∴-

1

3

a3+

a-2

2

•a2+2a2-3＜

1

6

a3+5a-7
∴a²-5a+4＜0
∴1＜a＜4．

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查恒成立問題，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．