Question

已知函數f（x）=1+cos2x-2sin²（x-

π

6

），其中x∈R，則下列結論中正確的是（　　）

• A．f（x）的最大值為2
• B．f（x）是最小正周期為π的偶函數
• C．將函數y=

  3

  sin2x的圖象向左平移

  π

  6

  得到函數f（x）的圖象
• D．f（x）的一條對稱軸為x=

  π

  3

Answer 1

分析：利用三角函數的恒等變換，把函數化為f（x）=

3

cos（2x-

π

6

），可得它的最大值為

3

，故排除A．再根據函數的最小正周期為π，且是非奇非偶函數，故排除B．將函數y=

3

sin2x的圖象向左平移

π

6

得到函數y=

3

sin2（x-

π

6

），利用誘導公式可得得到函數函數f（x）=

3

cos（2x-

π

6

） 的圖象，故C正確．令2x-

π

6

=kπ，k∈z，可得對稱軸方程為 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故D不正確．

解答：解：∵函數f（x）=1+cos2x-2sin²（x-

π

6

）═1+cos2x-2×

1-cos(2x- π 3 )

2

=cos2x+cos（2x-

π

3

）=2cos（2x-

π

6

）cos

π

6

=

3

cos（2x-

π

6

），
即 f（x）=

3

cos（2x-

π

6

）．
故函數的最大值為

3

，故排除A．
故函數的最小正周期為π，且是非奇非偶函數，故排除B．
將函數y=

3

sin2x的圖象向左平移

π

6

得到函數y=

3

sin2（x-

π

6

）=

3

sin（2x-

π

3

）=cos[

π

2

-（2x-

π

3

）]=

3

cos（-2x+

π

6

）=

3

cos（2x-

π

6

）=f（x）的圖象，故C正確．
令2x-

π

6

=kπ，k∈z，可得對稱軸方程為 x=

kπ

2

+

π

12

，k∈z，故D不正確．
故選C．

點評：此題考查了三角函數的周期性及其求法，二倍角的余弦函數公式，積化和差公式，余弦函數的對稱性及奇偶性，以及三角函數圖象的平移規律，其中靈活運用三角函數的恒等變形把函數解析式化為一個角的余弦函數是解本題的關鍵，屬于中檔題．