Question

設m∈R，在平面直角坐標系中，已知向量

a

=(mx，y+1)，向量

b

=(x，y-1)，

a

⊥

b

，動點M（x，y）的軌跡為E．
（Ⅰ）求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；
（Ⅱ）已知m=

1

4

，證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標原點），并求出該圓的方程．

Answer 1

分析：（1）因為

a

⊥

b

，

a

=(mx，y+1)，

b

=(x，y-1)，所以

a

•

b

=mx2+y2-1=0，由此根據實數m的取值，能判斷該方程所表示曲線的形狀．
（2）當m=

1

4

時，軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1，設圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，解方程組

y=kx+t x2 4 +y2=1

，得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，由此證明存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡E恒有兩個交點A，B，且OA⊥OB（O為坐標原點），并求出該圓的方程．

解答：解：（1）因為

a

⊥

b

，

a

=(mx，y+1)，

b

=(x，y-1)，
所以

a

•

b

=mx2+y2-1=0，即mx²+y²=1．
當m=0時，方程表示兩直線，方程為y=±1；
當m=1時，方程表示圓；
當m＞0且m≠1時，方程表示的是橢圓；
當m＜0時，方程表示的是雙曲線．
（2）當m=

1

4

時，軌跡E的方程為

x2

4

+y2=1，
設圓心在原點的圓的一條切線為y=kx+t，
解方程組

y=kx+t x2 4 +y2=1

，
得x²+4（kx+t）²=4，即（1+4k²）x²+8ktx+4t²-4=0，
要使切線與軌跡E恒有兩個交點A，B，
則使△=64k²t²-16（1+4k²）（t²-1）=16（4k²-t²+1）＞0，
即4k²-t²+1＞0，即t²＜4k²+1，
且

x1+x2=- 8kt 1+4k2 x1x2= 4t2-4 1+4k2

y₁y₂=（kx₁+t）（kx₂+t）
=k2x1x2+kt(x1+x2)+t2
=

k2(4t2-4)

1+4k2

-

8k2t2

1+4k2

+t²=

t2-4k2

1+4k2

，
要使

OA

⊥

OB

，需使x₁x₂+y₁y₂=0，
即

4t2-4

1+4k2

+

t2-4k2

1+4k2

=

5t2-4k2-4

1+4k2

=0，
所以5t²-4k²-4=0，即5t²=4k²+4且t²＜4k²+1，
即4k²+4＜20k²+5恒成立．
所以又因為直線y=kx+t為圓心在原點的圓的一條切線，
所以圓的半徑為r=

|t|

1+k2

，r2=

t2

1+k2

=

4 5 (1+k2)

1+k2

=

4

5

，
所求的圓為x2+y2=

4

5

．
當切線的斜率不存在時，切線為x=±

2

5

5

，
與

x2

4

+y2=1交于點(

2

5

5

，±

2

5

5

)或(-

2

5

5

，±

2

5

5

)也滿足OA⊥OB．
綜上，存在圓心在原點的圓x2+y2=

4

5

，
使得該圓的任意一條切線與橢圓E恒有兩個交點A，B，且

OA

⊥

OB

．

點評：本題考查方程所表示曲線形狀，考查圓的方程的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意直線和圓錐曲線的位置關系的綜合應用．