Question

【題目】已知函數，函數的導函數，且，其中為自然對數的底數.

（Ⅰ）求的極值；

（Ⅱ）若存在，使得不等式成立，試求實數的取值范圍；

（Ⅲ）當時，對于，求證：.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）見解析

【解析】

（Ⅰ）求導，對進行分類討論，研究單調性，求極值.

（Ⅱ）先求得，分離變量，即，構造新函數，求其最大值，即可求出的取值范圍.

（Ⅲ）令，即,求導研究單調性，求最小值大于0即可證得原不等式成立.

（Ⅰ）函數的定義域為，.

當時，，∴在上為增函數，沒有極值；

當時，令

∴在單調遞增，在單調遞減

∴有極大值，無極小值.

（Ⅱ），∴

∵，∴

∴

∵，使得不等式成立

即

令，

當時，，

∴，即.

∴在單調遞減，∴

∴.

（Ⅲ）當時，，令，

即

∴，則在上為增函數

∵，

∴.∵在上為增函數

∴時，，時，.

在單調遞減，在單調遞增

∴

∵∴

∵∴單調遞減，

∴

∴即.