Question

已知定義在R上的偶函數g（x）滿足：當x≠0時，xg′（x）＜0（其中g′（x）為函數g（x）的導函數）；定義在R上的奇函數f（x）滿足：f（x+2）=-f（x），在區間[0，1]上為單調遞增函數，且函數y=f（x）在x=-5處的切線方程為y=-6．若關于x的不等式g[f（x）]≥g（a²-a+4）對x∈[6，10]恒成立，則a的取值范圍是（　　）

A．-2≤a≤3

B．a≤-1或a≥2

C．-1≤a≤2

D．a≤-2或a≥3

Answer 1

分析：根據“xg′（x）＜0”和導數與函數單調性的關系，判斷出函數g（x）的單調性，再將“g[f（x）]≥g（a²-a+4）對x∈[6，10]恒成立”，轉化為“|f（x）|≤|a²-a+4|對x∈[6，10]恒成立”，再由條件求出函數f（x）的周期、對稱軸以及f（-5）的值，再得f（-1）、f（1）、f（3）的值，再由這些性質畫出大致圖象，右圖象求出函數f（x）在[6，10]上的值域，從而求出最大值，列出關于a的不等式求解．

解答：解：∵當x≠0時，xg′（x）＜0，∴當x＞0時，g′（x）＜0，當x＜0時，g′（x）＞0，
即g（x）在（-∞，0）上遞增，在（0，+∞）上遞減，
∵不等式g[f（x）]≥g（a²-a+4）對x∈[6，10]恒成立，
∴|f（x）|≤|a²-a+4|對x∈[6，10]恒成立，
由f（x+2）=-f（x）得，f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則函數f（x）是以4為周期的周期函數，
又∵f（x）是R上的奇函數，∴f（x+2）=-f（x）=f（-x），則函數f（x）的對稱軸是x=1，
∵在x=-5處的切線方程為y=-6，∴f（-5）=-6，即f（-1）=f（3）=-6，f（1）=6，
再結合f（x）在區間[0，1]上為單調遞增函數，且f（0）=0，畫出大致圖象：
由上圖得，當x∈[6，10]時，f（x）∈[-6，6]，
由|f（x）|≤|a²-a+4|對x∈[6，10]恒成立，得6≤|a²-a+4|，
即a²-a+4≥6或a²-a+4≤-6，化簡得a²-a-2≥0或a²-a+10≤0，
解得a≤-1或a≥2，
故選B．

點評：本題是有關函數性質的綜合題，考查了導數與函數單調性的關系，函數的奇偶性與單調性關系、對稱性、周期性等，考查了轉化思想和數形結合思想，難度以及綜合程度都很大．