Question

已知f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，g（x）=f（x-2）+

1

3

．當(dāng)x∈[-2，0）∪（0，2]時，g（x）=

1

2|x|-1

，g（0）=0，則方程g（x）=log 

1

2

（x+1）的解的個數(shù)為（　�。�

• A、0
• B、2
• C、4
• D、6

Answer 1

考點：函數(shù)奇偶性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知，g（x）的定義域為x∈[-2，6]，利用f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，且g（x）=f（x-2）+

1

3

，通過轉(zhuǎn)化可以再求出x∈[2，6]時解析式，便確定了g（x），最后結(jié)合函數(shù)大致圖象得出交點個數(shù)，即為方程解的個數(shù)．

解答： 解：∵f（x）是定義在[-4，4]上的奇函數(shù)，由x-2∈[-4，4]，得g（x）的定義域為x∈[-2，6]．
∵當(dāng)x∈[-2，0）∪（0，2]時，g（x）=

1

2|x|-1

，f（x-2）=g（x）-

1

3

=

1

2|x|-1

-

1

3

，
當(dāng)x=0時，g（x）=0，f（x-2）=g（x）-

1

3

=-

1

3

，
當(dāng)x-2∈[-4，0]，當(dāng)x∈[2，6]時，2-x∈[-4，0]，
當(dāng)x∈[2，4）∪（4，6]時，g（x）=-f（2-x）+

1

3

=-

1

2|4-x|-1

+

1

3

，
當(dāng)x=4時，g（x）=0，
在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)g（x）和函數(shù)y=log 

1

2

（x+1）的圖象如圖所示：

由兩個函數(shù)圖象共有4個交點，
故方程g（x）=log 

1

2

（x+1）的解的個數(shù)為4個，
故選：C

點評：本題考查函數(shù)的奇偶性的應(yīng)用，分段函數(shù)，考查轉(zhuǎn)化、計算、分類討論、函數(shù)與方程的思想方法和能力．