Question

已知A、B、C是直線l上的三點，向量

OA

、

OB

、

OC

滿足

OA

-（y+1-lnx）

OB

+

1-x

ax

OC

=

o

，（O不在直線l上a＞0）
（1）求y=f（x）的表達式；
（2）若函數f（x）在[1，∞]上為增函數，求a的范圍；
（3）當a=1時，求證lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

，對n≥2的正整數n成立．

Answer 1

分析：（1）將條件變形，利用A，B，C三點共線，可得（y+1-lnx）-

1-x

ax

=1，從而可得結論；
（2）函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，等價于f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，分離參數，即可求a的范圍；
（3）先證明lnx≥1-

1

x

，再將x用

n

n-1

替代，即可證得結論．

解答：（1）解：∵

OA

-（y+1-lnx）

OB

+

1-x

ax

OC

=

0

，
∴

OA

=（y+1-lnx）

OB

-

1-x

ax

OC

，
∵A，B，C三點共線
∴（y+1-lnx）-

1-x

ax

=1
∴y=lnx+

1-x

ax

；
（2）解：f（x）=lnx+

1-x

ax

，∴f′（x）=

1

x

-

1

ax2

∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，
∴

1

x

-

1

ax2

≥0在[1，+∞）上恒成立
∴a≥

1

x

∵

1

x

≤1，∴a≥1；
（3）證明：當a=1時，f（x）=lnx+

1

x

-1
由（2）知，x∈[1，+∞）時，f（x）≥f（1）=0
∴lnx≥1-

1

x

（當且僅當x=1時取“=”）
將x用

n

n-1

替代得ln

n

n-1

＞1-

n-1

n

=

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

∴lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

點評：本題考查向量知識的運用，考查三點共線，考查函數的單調性，考查不等式的證明，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．